[معلم متقاعد]

 

نتائج البحث:
بالنسبة لنتائج البحث فقد خصصنا لها ثلاثة فصول (الفصل الخامس، الفصل السادس، الفصل السابع) ولا يسعنا سوى الإشارة إلى أن معرفة الكيفية التي تم بها التوصل إلى هذه النتائج تفترض الرجوع إلى البحث في شموليته. كما أنه من اللازم القول إن النتائج أبرزت بشكل عام صدق فرضيات البحث ويمكن إجمال ما توصلنا إليه فيما يلي:
?أشارت النتائج التي حصلنا عليها من خلال تطبيقنا لاختباري المسائل ذات الصياغات الرمزية واللفظية في كل من الجبر والهندسة إلى أن معظم أفراد العينة لم يتمكنوا من حل المسائل الجبرية والهندسية المصاغة في قالب لفظي، في حين نجد أن الغالبية العظمى منهم تمكنوا من حل المسائل ذات الصياغات الرمزية في كلا الاختبارين (الجبر والهندسة). فقد تم حساب المتوسط الحسابي للدرجات في اختباري المسائل الرمزية في كل من الجبر والهندسة، فكانت هذه المتوسطات هي (13.71) في اختبار الجبر، (11.77) في اختبار الهندسة وذلك من مجموع الدرجات البالغ 20 درجة. بينما المتوسط الحسابي للدرجات في اختباري المسائل المصاغة في قالب لفظي (8.24) في اختبار الجبر، (6.16) في اختبار الهندسة، مما يدل على ارتفاع مستوى أداء التلاميذ في اختبار المسائل الرمزية والتدني الكبير في مستوى أدائهم في اختبار المسائل اللفظية في كل من الجبر والهندسة.
وقد تم التأكد من صحة هذه الفروق من خلال إيجاد قيمة "ت" المحسوبة في الاختبارين فكانت هذه القيمة مساوية ل (16.22) في الجبر، (14.75) في الهندسة. مما يدل على أن الفروق في درجات المبحوثين في اختباري المسائل الرمزية واللفظية في كلا من الجبر والهندسة هي فروق ذات دلالة إحصائية يعتد بها من الناحية العملية. وهذا الفرق الواضح بين المتوسطات وما أظهرته قيمة "ت" المحسوبة من دلالة إحصائية في هذين الاختبارين يظهر ولا شك تفوق أفراد العينة في حل المسائل الرمزية، وتدني مستوى أدائهم في حل المسائل اللفظية، وهذه النتيجة تعني أن الفرضية الأولى قد تحققت في كل من الجبر والهندسة.
ويفسر الباحث هذه النتيجة بأن المسائل الرمزية لا يجد التلميذ صعوبة في قراءتها وتمثلها ومعرفة المطلوب فيها وبالتالي يكون بإمكانه القيام بعملية التخطيط واختيار الاستراتيجية الملائمة للحل ومن ثم القيام بعملية التنفيذ ولا يواجه صعوبات كبيرة في ذلك فتكون الأخطاء المرتكبة قليلة. أما في المسألة اللفظية فإن الصعوبات التي يواجهها التلميذ أثناء قيامه بعملية الحل ترجع بالأساس إلى القراءة الخاطئة للمسألة مما ينتج عنه ترجمة خاطئة لمضمونها وبالتالي تمثلا خاطئا للحل ووضع المسألة في صورة رمزية خاطئة وهذا يؤدي إلى التخطيط الخاطئ وبناء استراتيجية غير ملائمة للحل، وعندئذ يواجه التلميذ صعوبة في عملية التنفيذ فيقع نتيجة لذلك في أخطاء حسابية وإجرائية كثيرة.
واستناداً إلى ما سبق نرى أن بعض التلاميذ، بل الغالبية العظمى منهم يواجهون صعوبات في حل المسائل الرياضية ( الجبرية والهندسية) التي تقدم في قالب لفظي، بينما يمكنهم حل بعض هذه المسائل بسهولة عندما تقدم لهم في صورة علاقات رياضية رمزية أو عمليات حسابية مجردة.
ومن خلال مقارنتنا للنتائج التي توصلنا إليها في اختباري الجبر والهندسة، أشارت هذه النتائج إلى أن الصعوبات التي واجهها التلاميذ في اختباري المسائل الرمزية واللفظية في الجبر أقل من الصعوبات التي واجهتهم في اختباري المسائل الهندسية.
? أظهرت النتائج التي حصلنا عليها في إختبارات المسائل ذات الصياغات الواضحة والمسائل ذات الصياغات غير الواضحة في اختباري الجبر والهندسةأن مستوى أداء التلاميذ في المسائل ذات الصياغات الواضحة يفوق مستوى أدائهم في المسائل ذات الصياغات غير الواضحة في كلا من الجبر والهندسة؛ حيث نجد أن الغالبية العظمى من أفراد العينة تمكنوا من حل المسائل الجبرية والهندسية ذات الصياغات الواضحة، في حين لم يتمكن إلا القليل منهم من حل المسائل ذات الصياغات غير الواضحة.
ومن خلال مقارنتنا للمتوسطات الحسابية لدرجات المبحوثين في هذا النوع من المسائل لاحظنا أن المتوسط الحسابي لدرجاتهم في اختبار المسائل ذات الصياغة غير الواضحة (6.23) في الجبر، (6.24) في الهندسة، ومن الواضح أن هاتان القيمتان متقاربتان جدا وهما بمجموعهما تشيران إلى أن هناك تدنيا كبيرا في مستوى أداء التلاميذ في هذا النوع من المسائل. بينما في اختبار المسائل ذات الصياغات الواضحة فقد كانت المتوسطات الحسابية لدرجات المبحوثين (10.36) في الجبر، (12.44) في الهندسة، مما يدل على ارتفاع مستوى أداء التلاميذ في هذا النوع الأخير من المسائل.
وللتأكد من أن هذه الفروق في المتوسطات هي فروق حقيقية وليست ناتجة للصدفة، فقد قمنا بحساب قيمة "د" وذلك بتطبيق اختبار إشارت الرتب أو ما يسمى باختبار "ولكوكسن". وقد كانت قيمة "د" المحسوبة في إختباري المسائل ذات الصياغات الواضحة والمسائل ذات الصياغات غير الواضحة هي (-12.18) في الجبر، (-8.59) في الهندسة، مما يعني أن الفروق في درجات التلاميذ في هذين الإختبارين هي فروق ذات دلالة إحصائية. لذلك فإننا نرفض الفرضية الصفرية التي تنفي وجود الفروق وبالمقابل نقبل بالفرضية البديلة التي تؤيد هذه الفروق. وهذه النتيجة تعني أن الفرضية الثانية في هذه الدراسة قد تحققت في كلا الاختبارين (اختبار الجبر، واختبار الهندسة).
إن ما سبق يؤكد على أن معظم التلاميذ يواجهون صعوبات كبيرة في حل المسائل الرياضية ذات الصياغات غير الواضحة (جبرية كانت أو هندسية)، ولذلك نجدهم يرتكبون أخطاء كثيرة عند حلهم لهذا النوع من المسائل نتيجة لعدم وعيهم وإدراكهم لمعاني الألفاظ والمصطلحات الواردة فيها، وبالعكس فيما إذا كانت هذه المسائل مقدمة بصياغات واضحة فنجد أن التلاميذ لا يواجهون صعوبات كبيرة في حلها ويتضح ذلك من خلال الأخطاء القليلة التي يرتكبونها أثناء الحل، فالصياغات الواضحة للمسائل المطروحة ترتبط بأكبر قدر من الإجابات الصحيحة. بمعنى أنه كلما كان تمثل التلميذ للمسألة جيدا كلما أدى ذلك إلى سهولة التخطيط واختيار الإستراتيجية الملائمة للحل، وبالتالي سهولة التنفيذ وقلة الأخطاء الإجرائية والحسابية.
ويفسر الباحث النتيجة السابقة إلى عدم فهم التلميذ للغة التي كتبت بها المسألة المعروضة وعدم قدرته على تحديد المعطيات والمطلوب فيها. فاللغة المستعملة في معطيات المسألة تلعب دوراً كبيراً، وإذا لم يفهم المتعلم مصطلحاً أو عدداً من مصطلحات النص فلا يمكنه حل المسألة. وبالإضافة إلى ذلك فإن لغتنا تتضمن مصطلحات قد تحتمل أكثر من معنى، ويتغير معناها حسب السياق الذي استعملت فيه.
وفيما يتعلق بمقارنة نتائج المبحوثين في كل من الجبر والهندسة فقد دلت النتائج على أن مستوى أداء المبحوثين في اختبار المسائل الهندسية كان أفضل من مستوى أدائهم في اختبار المسائل الجبرية .
? أبانت النتائج التي توصلنا إليها في إختبارات المسائل ذات الإجراءات المحدودة والمتعددة الخطوات في كلاً من الجبر والهندسة إلى ارتفاع مستوى أداء المبحوثين في إختبار المسائل ذات الإجراءات المحدودة في كلا من الجبر والهندسة، وتدني مستوى أدائهم في اختبار المسائل المتعددة الخطوات. فقد تم إيجاد قيم المتوسطات الحسابية لدرجات المبحوثين في إختباري المسائل المتعددة الخطوات فكانت (7.70) في اختبار الجبر، (7.19) في اختبار الهندسة، مما يدل إلى أن هناك تدنياً في مستوى أداء المبحوثين في هذا النوع من المسائل وهذا بدوره يؤكد النتيجة السابقة. أما في اختبار المسائل ذات الإجراءات المحدودة فقد كانت قيم المتوسطات (12.41) في اختبار الجبر، (13.57) في اختبار الهندسة، مما يشير إلى ارتفاع مستوى أداء التلاميذ في هذا النوع من المسائل.
وللتأكد من أن الفروق في الدرجات التي تميز بين مستوى أداء التلاميذ في المسائل ذات الإجراءات المحدودة ومستوى أدائهم في المسائل المتعددة الخطوات هي فروق حقيقية، قام الباحث بإيجاد قيمة "ت" المحسوبة في كلا الاختبارين وقد كانت قيمة "ت" المحسوبة هي (13.27) في اختبار الجبر، (16.11) في اختبار الهندسة، مما يعني أن كلاً من هاتين القيمتين ، ذات دلالة إحصائية.
ومن هذه النتائج نستنتج أن هناك فروقاً ذات دلالة إحصائية بين درجات المبحوثين في إختباري المسائل ذات الإجراءات المحدودة والمتعددة الخطوات في كلا من الجبر والهندسة. أي أن قيمة "ت" المحسوبة تعبر عن فروق حقيقية وصلت إلى حدود 99% ثقة و 1% شك في كلتا الحالتين.
وبناءً عليه فإننا نرفض الفرضية الصفرية التي تنفي وجود الفروق، وبالمقابل نقبل بالفرضية البديلة التي تؤيد هذه الفروق، وبالتالي فإن هذه النتيجة تعني أن الفرضية الثالثة في هذه الدراسة قد تحققت في كلا الاختبارين (اختبار الجبر واختبار الهندسة).
ومن خلال المعطيات الإحصائية السابقة يمكننا القول إن الفرق الجوهري الواضح بين المتوسطات وما أظهرته قيمة "ت" المحسوبة من دلالة إحصائية في إختباري المسائل ذات الإجراءات المحدودة والمسائل المتعددة الخطوات في الجبر والهندسة يُظهر ولا شك تفوق مستوى آداء المبحوثين في إختبار المسائل ذات الإجراءات المحدودة على مستوى آدائهم في إختبار المسائل المتعددة الخطوات. وهذا بدوره يعني أن معظم أفراد العينة قد واجهوا صعوبات كبيرة في حل المسائل الجبرية والهندسية المتعددة الخطوات.
ويفسر الباحث هذه النتيجة إلى أن صعوبة المسائل المتعددة الخطوات ترتبط ارتباطاً طردياً مع عدد الخطوات أو الإجراءات المتبعة في الحل، بمعنى أنه كلما زاد عدد الخطوات والإجراءات المتبعة في الحل، كلما زادت صعوبة المسألة. وبالتالي نجد التلاميذ يقعون في أخطاء عشوائية وحسابية كثيرة أثناء قيامهم بحل هذا النوع من المسائل، مما يؤدي إلى الفشل في إكمال الخطوات اللازمة للحل. والذي قد يعود أيضاً لإفتقار التلاميذ للتفكير المنطقي التتابعي، فهذا النوع من المسائل المتعددة الخطوات يتطلب إمتلاك المتعلم للمعارف والمعلومات السابقة، كما يتطلب السير في خطوات متسلسلة ومنظمة في الحل، أي لابد من الوصول إلى الحل من خلال خطوات وإجراءات مقننة.
ويمكن الإشارة هنا إلى أن مستوى أداء المبحوثين في اختبار الهندسة في هذا النوع من المسائل كان أفضل إلى حد ما من مستوى أدائهم في اختبار الجبر.
? دلت النتائج على أن هناك ارتفاع ملحوظ في مستوى أداء المبحوثين في إختبار المسائل (الجبرية، الهندسية) التي يتطلب حلها توظيف استراتيجيات سهلة وواضحة، فقد تم إيجاد المتوسطات الحسابية لدرجات المبحوثين في هذا الاختبار فكان متوسط درجاتهم في اختبار الجبر هو (13.11)، وفي اختبار الهندسة (12.91). كما أشارت النتائج إلى أن هناك انخفاض واضح في مستوى أداء المبحوثين في إختبار المسائل التي يتطلب حلها توظيف استراتيجيات مركبة غير واضحة في كلا من الجبر والهندسة، حيث كان متوسط أدائهم في اختبار الجبر (7.93) وفي اختبار الهندسة (6.00).
وقد تم التأكد من صحة هذه الفروق من خلال تطبيق اختبار "ولكوكسن" أو ما يسمى باختبار إشارت الرتب "د" حيث وجدنا أن قيمة "د" في اختبار الجبر (-12.12) وفي اختبار الهندسة (12.40)، مما يدل على أن لهاتان القيمتان دلالة إحصائية عند مستوى الدلالة 0.01، أي أن هناك فروق ذات دلالة إحصائية بين درجات المبحوثين في هذين النوعين من المسائل في كل من الجبر والهندسة، بمعنى أن قيمة "د" المحسوبة تعبر عن فروق حقيقية تصل إلى حدود 99% ثقة و1% شك، وهذا يعني أن الاستراتيجية المطلوب توظيفها في حل المسألة لها علاقة طردية بصعوبة هذه المسألة. وعليه فإنه بهذه النتيجة نكون قد تحققنا من صحة الفضية الرابعة في هذه الدراسة في كل من الجبر والهندسة.
إن النتائج التي تحصلنا عليها سابقاً تشير بوضوح إلى أن التلاميذ يواجهون صعوبات كثيرة ومتعددة في المسائل الرياضية (الجبرية والهندسية) التي يتطلب حلها توظيف استراتيجيات مركبة وغير واضحة.
وفي الحقيقة إن مرحلة إنشاء خطة أو استراتيجية لبدء حل المسألة المطروحة قد تكون أصعب مرحلة يواجهها التلميذ في حل المسألة الرياضية. ولا شك إن إختيار استراتيجية الحل يتوقف على نوعية المسألة وعلى خبرة المتعلم الذي يقوم بحلها. وحيث أن استراتيجيات الحل تتعلق بالعمليات أو الخطوات التي يقوم بها الفرد مستخدماً معارفه الذهنية للوصول إلى الحل المطلوب للمسألة، فإن الجواب الأخير بحد ذاته ليس مهماً، فقد يكون مجرد رقم؛ إنما المهم الخطط والإستراتيجيات وأساليب التفكير التي استعملها المتعلم أثناء عملية الحل. فهذه الإستراتيجيات والأساليب هي التي ستفيد المتعلم في حل مسائل أو مشكلات أخرى سواءُ في الرياضيات أو غيرها من المشكلات العامة. ولذلك فقد كان "برونر" يقول: "ليس المهم حل المشكلة بل الأهم هو طريقة الحل".([24])
وبشكل عام يمكننا استنتاج من خلال النتائج التي توصلنا إليها في اختبار هذا النوع من المسائل إلى أن مستوى أداء المبحوثين في اختبار الجبر كان أفضل من مستوى أدائهم في اختبار الهندسة
? من خلال قراءتنا للنتائج التي أسفرت عنها إختبارات المسائل المتضمنة لمفاهيم محدودة، والمسائل المتضمنة لمفاهيم ذات قدرة عالية على التجريد في كلا من الجبر والهندسة لاحظنا أن الغالبية العظمى من المبحوثين لم يتمكنوا من حل المسائل المتضمنة لمفاهيم ذات قدرة عالية على التجريد في كل من الجبر والهندسة، حيث أشارت قيم المتوسطات الحسابية للدرجات في هذا النوع من المسائل إلى التدني الكبير في مستوى أداء المبحوثين، فقد كان المتوسط الحسابي لدرجاتهم في إختبار الجبر (6.51) وفي إختبار الهندسة (5.89)، في حين نلاحظ أن قيمة المتوسط الحسابي للدرجات في إختباري المسائل المتضمنة لمفاهيم محدودة كانت عالية في كلا الاختبارين، ففي الجبر كان المتوسط الحسابي للدرجات هو (12.74)، وفي الهندسة (11.09)، وهذا يدل دلالة واضحة على أن المبحوثين قد واجهوا صعوبات كبيرة في إختبار المسائل المتضمنة لمفاهيم ذات قدرة عالية على التجريد في كلا من الجبر والهندسة، بينما العكس في اختبار المسائل المتضمنة لمفاهيم محدودة.
ويتضح من خلال المقارنة الإحصائية بين هذين النوعين من المسائل أن قيمة "د" المحسوبة هي (-12.32) في اختبار الجبر،(-12.13) في اختبار الهندسة، وعند مقارنة كلاً من هاتين القيمتين بالقيمتين النظريتين المطلوبتين لرفض الفرضية الصفرية عند مستويي الدلالة (0.05)، (0.01) ومقداريهما (-1.96)، (-2.59) على الترتيب، نجد أن قيمة "د" المحسوبة في كلتا الحالتين أصغر من هاتين القيمتين. وهذا يعني أن الفروق في درجات المبحوثين في إختباري المسائل المتضمنة لمفاهيم محددة والمسائل المتضمنة لمفاهيم ذات قدرة عالية على التجريد في كل من الجبر والهندسة هي فروق ذات دلالة إحصائية.
واستناداً إلى ما سبق فإننا نرفض الفرضية الصفرية التي تنفي وجود الفروق، وبالمقابل فإننا نقبل بالفرضية البديلة التي تؤيد هذه الفروق. وهذا الفرق الجوهري الواضح بين المتوسطات وما أظهرته قيمة "د" المحسوبة من دلالة إحصائية في إختباري المسائل المتضمنة لمفاهيم محدودة والمسائل المتضمنة لمفاهيم ذات قدرة عالية على التجريد في كل من الجبر والهندسة، يظهر ولا شك تفوق في مستوى آداء المبحوثين في حل المسائل المتضمنة لمفاهيم محدودة على مستوى آدائهم في حل المسائل المتضمنة لمفاهيم ذات قدرة عالية على التجريد، وهذه النتيجة تعني أن الفرضية الخامسة في الإشكالية قد تحققت في كلا من الجبر والهندسة.
ومن خلال مقارنتنا للنتائج التي توصلنا إليها في اختباري الجبر والهندسة لاحظنا أن مستوى إنجاز المبحوثين في اختبار الجبر في هذا النوع من المسائل فاق مستوى إنجازهم في اختبار الهندسة.
وبناءً عليه فإننا نؤكد هنا بالإستناد إلى النتائج السابقة أن الغالبية العظمى من التلاميذ يواجهون صعوبات كبيرة في حل المسائل المتضمنة لمفاهيم ذات قدرة عالية على التجريد في كل من الجبر والهندسة، في حين أنهم لا يواجهون صعوبات في حل هذه المسائل فيما إذا كانت متضمنة لمفاهيم محدودة. وفي الحقيقة يمكن إرجاع مثل هذه الصعوبات التي يواجهها التلاميذ في هذا المستوى إلى أن بعض التلاميذ قد لا يكون مستوى نموهم العقلي (الذهني) متناسباً مع نموهم العمري، بمعنى أن بعض التلاميذ قد يصل إلى المرحلة الإعدادية ولكن مازال في مرحلة العمليات الملموسة. ومن أجل ذلك ينبغي أن يستخدم مدرسي الرياضيات في هذه المرحلة استراتيجيات تدريس مناسبة لقدرات التلاميذ العقلية تساعدهم على التقدم إلى مراحل النمو الأعلى. فلا شك في أن تعلم الطفل للمفاهيم الرياضية يزداد عندما تقدم من خلال مواقف متعددة. وبصفة عامة فإنه يفضل أن يكون تعلم المفاهيم في متتابعة تبدأ من المحسوسات إلى شبه المحسوسات وتنتهي بالمجردات.
وكخلاصة عامة يمكننا القول إن تعلم الرياضيات ليست مسألة اكتساب مجموعة من الحقائق المنفصلة وحفظها، بل هو عملية تشجيع الاستبصار وتعزيزه في بنية هذا الحقل لاكتساب نظرة شاملة حول العلاقات المتبادلة التي ينطوي عليها، ولذلك يجب على المتعلم أن يقوم باكتشاف العلاقات المتبادلة بين الظواهر بنفسه وليس نقلها له، فالغاية من التعلم لا تكمن في اكتساب الحقائق ذاتها، بل في القدرة على استخدامها، ولهذا يجب على التعليم أن ينقل المتعلم من الاكتساب إلى التفكير، والاكتشاف هو السبيل الأمثل لتحقيق هذا الانتقال، لأنه يزيد من إمكانية التفكير ويعزز الاحتفاظ به، ويستثير الدافعية ويزود المتعلم بالقدرة على البحث والاستقصاء. لذلك ليس المهم التركيز فقط على ما تعلمه التلميذ ولكن المهم كيف يتم التعلم، ويمكن للمدرس أن يوجه التعلم بتحديد نوعية الخبرات التي يمر بها التلاميذ. وإذا كان التعلم يتضمن عمليتين متلازمتين هما الاستيعاب والانتاج فإنه ينبغي على المعلمين أن يركزوا على عملية الاستيعاب لأن المهم في تعلم الرياضيات هو الفهم الفعلي في كل بنية رياضية والعلاقات بين البنيات المختلفة، ثم القدرة على التعامل بهذه العلاقة أي القدرة على تجريدها وتطبيقها في المواقف الحقيقية، إلا أن مانلاحظه في مدارسنا اليوم هو أن العديد من المدرسين يهتمون بعملية الإنتاج ولا يعيرون لعملية الاستيعاب ذات القدر من الأهمية. من جهة ثانية فإننا نوجه الدعوة للقائمين على العملية التعليمية بإعادة النظر في بناء مناهج الرياضيات في مختلف المستويات الدراسية، بحيث تتناسب مع قدرات التلاميذ وتفكيرهم في كل مستوى.

[1] - خيرية رمضان وآخرون (1996) : الصعوبات التي تواجه تلاميذ المرحلة الإبتدائية عند حل المسائل اللفظية بدولة الكويت، مجلة مستقبل التربية العربية، المجلد الثاني، العددان السادس والسابع، أبريل / يوليو 1996، ص : 173.
[2] - أحمد أحمد عواد (1997): علم النفس التربوي وصعوبات التعلم، ط1، المكتب العلمي للكمبيوتر والنشر والتوزيع، الإسكندرية، ص:104.
[3] - فنحي الزيات (4.1998) : صعوبات التعلم (الأسس النظرية والتشخيصية والعلاجية) ،ط 1 ، دار النشر للجامعات، القاهرة، ص ص : 42-51.
[4] - نفس المرجع ، ص ص : 52-53 ,95 ,183.
[5] - محمد أمين المفتي (1982) : المتطلبات الأساسية لتعليم الرياضيات، مجلة الرياضيات، العدد 1 ، مارس 1982، ص ص: 18- 25.
[6] - مجدي عزيز إبراهيم (1988): تصور مقترح لأصول البحث العلمي في مناهج الرياضيات في المرحلة الثانوية، ط 1، مكتبة النهضة المصرية، القاهرة، ص :32.
[7] - عبد الله بن المغيرة (1989) : طرق تدريس الرياضيات، ط1، عمادة شؤون المكتبان، جامعة الملك سعود، الرياض ، ص : 54.
[8] - وليم عبيد وآخرون (2000) : تربويات الرياضيات، مكتبة الأنجلو المصرية ، القاهرة، ص : 36.
[9] - وزارة التربية الوطنية المغربية (1995) : أهداف وتوجيهات تربوية للسلك الأول من التعليم الأساسي، ط 1، مطبعة النجاح الجديدة، الدار البيضاء، ص : 40.
[10] - فريد أبو زينة (1997): الرياضيات – مناهجها وأصول تدريسها – ط 4، دار الفرقان للنشر والتوزيع، عمان – الأردن، ص ص: 60-61
[11] - أحمد العريفي الشارف(1997) : المدخل لتدريس الرياضيات، الجامعة المفتوحة، طرابلس- ليبيا، ص: 255.
[12] - نفس المرجع ، ص: 256.
[13] - محي الدين شوق، عبد الرحمن عدس (1984) : أساسيات علم النفس التربوي، جون وايلي وأولاده، لندن، ص: 113.
[14] - إسحق فرحان وآخرون (1984) : تعليم المنهاج التربوي – أنماط تعليمية معاصرة ، ط 1، دار الفرقان للنشر والتوزيع، عمان –الأردن، ص: 209.
[15] - محمد أمين المفتي (1980) : استخدام تحليل المهمة كمدخل لتعليم الرياضيات ( دراسة منشورة في أعمال و توصيات مؤثر تعليم الرياضيات لمرحلة ما قبل الجامعة) ، أكاديمية البحث العلمي والتكنولوجيا ، القاهرة، ديسمبر 1980، ص ص: 234-235.

[16] - Dienes, Z (1971) : Building up Mathematics, 4 th Ed, Landon, Hutchinson Educational Ltd.

[17] - محمد عبد الكريم أبوسل (1999) : مناهج الرياضيات وأساليب تدريسها ، ط 1 ، دار الفرقان للنشر ، إربد- الأردن، ص :75.
[18] - فتحي الزيات (1996) : سيكلوجية التعلم بين المنظور الارتباطي والمنظور المعرفي، ط 1 ، دار النشر للجامعات، القاهرة، ص: 318.
[19] - إسحاق أحمد فرحان آخرون (1984) : مرجع سابق ، ص : 33-35.
[20] - نظلة حسن خضر (1984) : دراسات تربوية رائدة في الرياضيات، عالم الكتب، القاهرة، ص: 12.
[21] - براون .م (1978) : النمو المعرفي وتعلم الرياضيات ، عن : أحمد العريفي (1997) : مرجع سابق، ص ص: 328-331.
[22] - أنور الشرقاوي (1991): التعلم- نظريات وتطبيقات- ط 4، مكتبة الأنجلو المصرية، القاهرة ، ص ص:253-254.
[23] - إسماعيل الأمين (2001) : طرق تدريس الرياضيات ( نظريات وتطبيقات ) ، ط1 ، دار الفكر العربي ، القاهرة،ص: 23.
[24] - حسن علي سلامة (1995) : طرق تدريس الرياضيات بين النظرية والتطبيق، دار الفكر العربي القاهرة، ص: 290.